题目内容
甲、乙两人射击，已知甲每次击中目标的概率为
，乙每次击中目标的概率为
．
（1）两人各射击一次，求至少有一人击中目标的概率；
（2）若制定规则如下：两人轮流射击，每人至多射击2次，甲先射，若有人击中目标即停止射击．
①求乙射击次数不超过1次的概率；
②记甲、乙两人射击次数和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
（1）两人各射击一次，求至少有一人击中目标的概率；
（2）若制定规则如下：两人轮流射击，每人至多射击2次，甲先射，若有人击中目标即停止射击．
①求乙射击次数不超过1次的概率；
②记甲、乙两人射击次数和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式,相互独立事件的概率乘法公式
专题：概率与统计
分析：（1）利用互斥概率的公式计算即可，
（2）①利用互斥概率的公式计算即可
②甲、乙两人射击次数和为ξ，ξ的取值为1，2，3，4．列出分布列，求出数学期望．
（2）①利用互斥概率的公式计算即可
②甲、乙两人射击次数和为ξ，ξ的取值为1，2，3，4．列出分布列，求出数学期望．
解答：
解：（1）事件A=“甲每次击中目标“，事件B=“乙每次击中目标“．
故两人各射击一次，至少有一人击中目标的概率P=1-P(
)=1-(1-
)×(1-
)=
；
（2）①乙射击次数不超过1次的对立事件是“乙射击2次”，
所以乙射击次数不超过1次的概率P=1-P（
•
•
）=1-
×
×
=
；
②甲、乙两人射击次数和为ξ，ξ的取值为1，2，3，4．
P（ξ=1）=P（A）=
，
P（ξ=2）=P（
•B）=
×
=
，
P（ξ=3）=P（
•
•A）=
×
×
=
，
P（ξ=4）=P(
•
•
)=
×
×
=
，
则分布列为：
甲乙射击总次数ξ的数学期望为：E（ξ）=1×
+2×
+3×
+4×
=
．
故两人各射击一次，至少有一人击中目标的概率P=1-P(
. |
| AB |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
（2）①乙射击次数不超过1次的对立事件是“乙射击2次”，
所以乙射击次数不超过1次的概率P=1-P（
. |
| A |
. |
| B |
. |
| A |
| 3 |
| 4 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 8 |
②甲、乙两人射击次数和为ξ，ξ的取值为1，2，3，4．
P（ξ=1）=P（A）=
| 1 |
| 4 |
P（ξ=2）=P（
. |
| A |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
P（ξ=3）=P（
. |
| A |
. |
| B |
| 3 |
| 4 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 8 |
P（ξ=4）=P(
. |
| A |
. |
| B |
. |
| A |
| 3 |
| 4 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 8 |
则分布列为：
| ξ | 1 | 2 | 3 | 4 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 8 |
| 3 |
| 8 |
| 21 |
| 8 |
点评：本题考查互斥事件、相互独立事件的概率计算，离散型随机变量的数学期望的求法，属于中档题．
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