Question

下列结论中：
①当x＞0且x≠1时，lgx+

1

lgx

≥2；
②当0＜x≤2时，x-

1

x

的最大值为

3

2

；
③a²＞b²，ab＞0⇒

1

a

＜

1

b

；
④不等式x+

2

x+1

＞2的解集为（-1，0）∪（1，+∞）
正确的序号有

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：当0＜x＜1时可得lgx+

1

lgx

≤-2，①错误；利用函数的单调性可判断②的正误；举反例可判断③错误；化为整式不等式后利用穿根法可判断④的正误．

解答： 解：当0＜x＜1时，lgx＜0，则lgx+

1

lgx

≤-2

lgx• 1 lgx

=-2，故①错误；
当0＜x≤2时，x-

1

x

在（0，2]上单调递增，∴x=2时x-

1

x

取得最大值为2-

1

2

=

3

2

，故②正确；
取a=-2，b=-1，满足a²＞b²，ab＞0，但

1

a

=-

1

2

＞-1=

1

b

，故③错误；
x+

2

x+1

＞2可化为

x(x-1)

x+1

＞0，即x（x-1）（x+1）＞0，
由“穿根法”可得不等式的解集为（-1，0）∪（1，+∞）．故④正确．
故答案为：②④．

点评：该题考查基本不等式、不等式的解法等知识，该类题目主要体现了“小、巧、活”的特点，熟记相关公式是解题关键．