Question

已知f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），g（x）=2x²-4x-16，且|f（x）|≤|g（x）|对x∈R恒成立．
（1）求a，b的值；
（2）若对x＞2，不等式f（x）≥（m+2）x-m-15恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由g（x）=0得x=4或x=-2．由题意可得

|f(4)|≤0 |f(-2)|≤0

，由此求得a、b的值．
（2）由题意可得，当x＞2时，函数f（x）=x²-2x-8的图象不能在直线y=（m+2）x-m-15的下方，由于f（x）的图象的顶点为A（1，-9），函数经过点B（2，-8），直线y=（m+2）x-m-15经过点C（1，-13），可得m+2≤K_CB，由此求得m的范围．

解答： 解：（1）由g（x）=0得x=4或x=-2．
 由题意可得

|f(4)|≤0 |f(-2)|≤0

，即

|16+4a+b|≤0 |4-2a+b|≤0

，∴

16+4a+b=0 4-2a+b=0

，∴

a=-2 b=-8

．
此时，|f（x）|≤|g（x）|?|x²-2x-8|≤2|x²-2x-8|，对x∈R恒成立，满足条件．
故a=-2，b=-8．
（2）由题意可得，当x＞2时，函数f（x）=x²-2x-8的图象不能在直线y=（m+2）x-m-15的下方．
由于f（x）的图象的顶点为A（1，-9），函数经过点B（2，-8），
直线y=（m+2）x-m-15经过点C（1，-13），
∴m+2≤K_CB=

-8+13

2-1

=5，求得 m≤3．

点评：本题主要考查二次函数的性质，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．