Question

20．在△ABC中，AB=2，AC=1，∠A=$\frac{2π}{3}$，过A作AD⊥BC于D，且$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，则λμ=（　　）

• A． $\frac{10}{49}$
• B． $\frac{5\sqrt{7}}{14}$
• C． $\frac{9}{7}$
• D． 1

Answer 1

分析 根据余弦定理解出BC，根据等面积法求出AD，使用勾股定理求出CD，得出$\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{CB}$的数量关系，用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AD}$得到λ，μ的值．

解答 解：在△ABC中，由余弦定理得BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB•ACcos120°}$=$\sqrt{7}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•AC•sin\frac{2π}{3}$=$\frac{1}{2}AC•AD$，∴AD=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴$\overrightarrow{CD}=\frac{2}{7}\overrightarrow{CB}$=$\frac{2}{7}$（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$）．∴$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$=$\frac{2}{7}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{7}\overrightarrow{AC}$．
∴λ=$\frac{2}{7}$，$μ=\frac{5}{7}$．
∴λμ=$\frac{10}{49}$．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题．