已知函数f(A＞0.ω＞0.|φ|＜$\frac{π}{2})$的图象在y轴右侧与x轴第一个交点和第一个最高点的坐标分别为(x0.0)和(x0+$\frac{π}{2}$.2).若将函数f(x)的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位后所得函数图象关于原点对称的解析式,+1的周期为$\frac{2π}{3}$.且当x∈[0.$\frac{π}{3}$]时.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}）$的图象在y轴右侧与x轴第一个交点和第一个最高点的坐标分别为（x₀，0）和（x₀+$\frac{π}{2}$，2），若将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位后所得函数图象关于原点对称
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（kx）+1（k＞0）的周期为$\frac{2π}{3}$，且当x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，方程f（kx）=m恰有两个不同的根，求实数m的取值范围．

分析（1）根据函数的图象坐标求出函数的周期和振幅，结合函数是奇偶性进行求解即可．
（2）根据函数是周期求出k的值，利用函数与方程之间的关系进行求解即可．

解答解：（1）∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}）$的图象在y轴右侧与x轴第一个交点和第一个最高点的坐标分别为（x₀，0）和（x₀+$\frac{π}{2}$，2），
∴A=2，$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{2}$，即T=2π=$\frac{2π}{ω}$．
则ω=1，
则f（x）=2sin（x+φ），
若将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位后所得函数图象关于原点对称，
即y=2sin（x+$\frac{π}{3}$+φ）是奇函数，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，
则-$\frac{π}{6}$＜φ+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{6}$，
则φ+$\frac{π}{3}$=0，
即φ=-$\frac{π}{3}$，
则函数f（x）的解析式f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）；
（2）函数y=f（kx）+1=2sin（kx-$\frac{π}{3}$）+1；
∵函数y=f（kx）+1（k＞0）的周期为$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{2π}{k}$=$\frac{2π}{3}$，
∴k=3，
则y=f（3x）+1=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）+1；
即f（3x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$），
设h（x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）
若x∈[0，$\frac{π}{3}$]，则3x∈[0，π]，3x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
则当x=$\frac{π}{3}$时，y=2sin$\frac{2π}{3}$=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
则要使方程f（kx）=m恰有两个不同的根，
则$\sqrt{3}$≤m＜2．