Question

11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足$\sqrt{3}$acosC=csin（B+C）．
（1）求角C的大小；
（2）若B+C=$\frac{7π}{12}$，b=$\sqrt{6}$，求c．

Answer 1

分析 （1）由$\sqrt{3}$acosC=csin（B+C），由正弦定理可得：$\sqrt{3}$sinAcosC=sinCsinA，可得tanC=$\sqrt{3}$，即可得出．
（2）由B+C=$\frac{7π}{12}$，可得B=$\frac{π}{4}$．利用正弦定理即可得出．

解答 解：（1）在△ABC中，∵满足$\sqrt{3}$acosC=csin（B+C），由正弦定理可得：$\sqrt{3}$sinAcosC=sinCsinA，∵sinA≠0，∴tanC=$\sqrt{3}$，
∵C∈（0，π），∴$C=\frac{π}{3}$．
（2）∵B+C=$\frac{7π}{12}$，∴B=$\frac{π}{4}$．
由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{\sqrt{6}×sin\frac{π}{3}}{sin\frac{π}{4}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．