Question

12．己知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1≤0}\\{2x-y-3≥0}\end{array}\right.$，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2$\sqrt{5}$时，则4a²+b²的最小值为（　　）

• A． 5
• B． 10
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 作出可行域，找到最优解，得到a，b的关系，利用基本不等式得出答案．

解答 解：作出约束条件的可行域如图：

由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-$\frac{a}{b}x$+$\frac{z}{b}$，
∴当直线y=-$\frac{a}{b}x$+$\frac{z}{b}$经过点A时，直线的截距最小，即z最小．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{2x-y-3=0}\end{array}\right.$得A（2，1）．
∴2a+b=2$\sqrt{5}$．∴2ab≤（$\frac{2a+b}{2}$）²=5，
∴4a²+b²=20-4ab≥10．
故选：B．

点评 本题考查了简单的线性规划，基本不等式的应用，属于中档题．