Question

已知函数y=f（x）（x∈R）不恒为零，且对于任意实数x₁，x₂，都有f（x₁x₂）=x₁f（x₂）+x₂f（x₁）．若f（x）是以3为周期的周期函数，在区间（-6，6）内方程f（x）=0有且只有15个根，并且最大的根是x=5，求方程f（x）=0在区间（-6，6）内所有的根．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：转化思想,函数的性质及应用

分析：利用赋值法先由条件“对于任意实数x₁，x₂，都有f（x₁x₂）=x₁f（x₂）+x₂f（x₁）”得出隐含条件f（x）是奇函数，再结合3为周期，反复利用两个性质得出所有的根．

解答： 解：∵对于任意实数x₁，x₂，都有f（x₁x₂）=x₁f（x₂）+x₂f（x₁），令x₁=x₂=1得f（1）=0，
再令x₁=x₂=-1得f（1）=-2f（-1）=0，∴f（-1）=0，
再令x₁=-1，x₂=x代入得f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），∴函数y=f（x）是奇函数，
又∵x∈R，∴f（0）=0；所以0，-1，1是f（x）=0的根，结合f（x）以3为周期，且是奇函数，
则f（-1）=f（1）=f（-4）=f（4）=0，f（0）=f（3）=f（-3）=0，由已知f（5）=0，∴f（-5）=f（-2）=f（2）=0，
∴f（1）=f(2×

1

2

)=2f(

1

2

)+

1

2

f(2)=0，∴f(

1

2

)=0，同理f（

1

3

）=f（

1

4

）=f（

1

5

）=0，又∵在区间（-6，6）内方程f（x）=0有且只有15个根，
∴方程f（x）=0在区间（-6，6）内的根为：0，-1，1，-2，2，-3，3，-4，4，-5，5，

1

2

，

1

3

，

1

4

，

1

5

，共15个．

点评：这个题以抽象函数为载体，利用赋值法推出其奇函数的性质，然后将周期性与奇偶性相结合，反复利用、转换，直到求出所有的值，有一定难度．