Question

写出符合下列条件的曲线的标准方程：
（1）顶点为坐标原点，焦点在y轴上，点M（a，2）到准线的距离为3，求抛物线的标准方程；
（2）与双曲线

x2

4

-

y2

3

=1有共同的渐近线且过点A（2，-3）求双曲线标准方程；
（3）已知M（-2，0），N（2，0），则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程,轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设抛物线的标准方程为x²=2py，p＞0，由已知条件推导出2+

p

2

=3，由此能求出抛物线的标准方程．
（2）设与双曲线

x2

4

-

y2

3

=1有共同的渐近线的双曲线为

x2

4

-

y2

3

=λ，由所求双曲线过点A（2，-3），能求出结果．
（3）设P点的坐标为（x，y），则（x+2）²+y²+（x-2）²+y²=（2+2）²，x≠±2，由此能求出以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程．

解答： 解：（1）∵顶点为坐标原点，焦点在y轴上，
∴设抛物线的标准方程为x²=2py，p＞0，
∵点M（a，2）到准线y=-

p

2

的距离为3，
∴2+

p

2

=3，解得p=2，
∴抛物线的标准方程为x²=4y．
（2）设与双曲线

x2

4

-

y2

3

=1有共同的渐近线的双曲线为

x2

4

-

y2

3

=λ，
∵所求双曲线过点A（2，-3），
∴

4

4

-

9

3

=λ，即λ=-2，
∴所求双曲线为

x2

4

-

y2

3

=-2，
整理，得

y2

6

-

x2

8

=1．
（3）设P点的坐标为（x，y），
则（x+2）²+y²+（x-2）²+y²=（2+2）²，x≠±2，
整理，得x²+y²=4，（x≠±2）．
∴以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为x²+y²=4，（x≠±2）．

点评：本题考查抛物线方程、双曲线方程和圆的方程的求法，是基础题，解题要认真审题，注意待定系数法的合理运用．