Question

已知a，b，c都是正数，求证：
（1）

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥a+b+c；
（2）

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：选作题,不等式

分析：（1）利用b+

a2

b

≥2a，c+

b2

c

≥2b，a+

c2

a

≥2c，三个式子相加可得结论；
（2）该题是轮换式不等式的证明，可以利用基本不等式证

1

2

（

1

2a

+

1

2b

）≥

1

2 ab

≥

1

a+b

；

1

2

（

1

2b

+

1

2c

）≥

1

2 bc

≥

1

b+c

；

1

2

（

1

2c

+

1

2a

）≥

1

2 ca

≥

1

c+a

，将三式相加可证得结论．

解答： 证明：（1）∵a，b，c都是正数，
∴b+

a2

b

≥2a，c+

b2

c

≥2b，a+

c2

a

≥2c，
三个式子相加可得b+

a2

b

+c+

b2

c

+a+

c2

a

≥2a+2b+2c，
∴

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥a+b+c；
（2）∵a、b、c均为正实数，
∴

1

2

（

1

2a

+

1

2b

）≥

1

2 ab

≥

1

a+b

，当a=b时等号成立；

1

2

（

1

2b

+

1

2c

）≥

1

2 bc

≥

1

b+c

，当b=c时等号成立；

1

2

（

1

2c

+

1

2a

）≥

1

2 ca

≥

1

c+a

，当a=c时等号成立；
三个不等式相加即得

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

，
当且仅当a=b=c时等号成立．

点评：本题主要考查了不等式的证明，以及基本不等式的应用，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．