Question

如图，在菱形ABCD中，AB=BD=2，三角形PAD为等边三角形．将它沿AD折成大小为α（

π

2

＜α＜π）的二面角P-AD-B，连接PC、PB．
（Ⅰ）证明：AD⊥PB；
（Ⅱ）当α为何值时，二面角P-CD-A的平面角的正切值大小为2

3

．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间角

分析：（Ⅰ）取AD的中点E，连结PE，BE，由已知条件推导出AD⊥PE，AD⊥BE，由此能证明AD⊥平面PEB，从而得到AD⊥PB．
（Ⅱ）过点P在平面PEB内作BE的垂线，垂足为F，由已知条件得到∠PEB为所折成二面角的平面角α的补角，
∠PEB=π-α，PE=

3

，EF=-

3

cosα，PF=

3

sinα，过F在平面ABD内作FG⊥CD，垂足为G，连结PG，则∠PGF为二面角P-CD-A的平面角，由此能求出结果．

解答： （Ⅰ）证明：取AD的中点E，连结PE，BE，
∵△PAD与△ABD为等边三角形，
∴AD⊥PE，AD⊥BE，PE∩BE=E，
∴AD⊥平面PEB，
∴AD⊥PB．
（Ⅱ）解：过点P在平面PEB内作BE的垂线，垂足为F，
由（Ⅰ）知面PEB⊥面ADB，∴PF⊥平面ABD，
由（Ⅰ）知∠PEB为所折成二面角的平面角α的补角，
∠PEB=π-α，
PE=

3

，EF=-

3

cosα，PF=

3

sinα，
过F在平面ABD内作FG⊥CD，垂足为G，连结PG，
则∠PGF为二面角P-CD-A的平面角，
在平面图形FBCG中，延长BF，CD相交于H，
由题意知FG=

3 + 3 cosα

2

，
∴tan∠PGF=

3 sinα

3 + 3 cosα

=2

3

，
∴sinα-

3

cosα=

3

，
∴sin（α-

π

3

）=

3

2

，
∴α=

2π

3

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．