Question

设定义在R上的可导函数f（x）满足f（1+x）=f（1-x），且当x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0．设a=f（0），b=f（

1

2

），c=f（3），则（　　）

• A、a＞b＞c
• B、a＞c＞b
• C、b＞a＞c
• D、b＞c＞a

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,抽象函数及其应用

专题：导数的综合应用

分析：先根据f（x+1）=f（1-x），得到f（3）=f（1-2）=f（-1），然后利用函数f（x）的单调性即可作出大小判断．

解答： 解：∴当x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0．因（x-1）f’（x）＜0，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，1）单调递增，
又f（1+x）=f（1-x），
令x=2，则f（1+2）=f（3）=f（1-2）=f（-1），
∵-1＜0＜

1

2

，
∴f（-1）＜f（0）＜f（

1

2

），
即f（3）＜f（0）＜f（

1

2

），
即c＜a＜b
故选：C

点评：本题考查函数图象的对称性，考查对数函数的单调性，解决本题的关键是f（3）=f（1-2）=f（-1），属于中档题．