Question

已知函数f（x）=lnx-

1

2

ax²-bx，若x=1是函数f（x）的极大值点，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=

1

x

-ax-b，由f'（1）=0，得b=1-a．所以f'（x）=

-(ax+1)(x-1)

x

，由此能求出a的取值范围．

解答： 解：f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=

1

x

-ax-b，由f'（1）=0，得b=1-a．
所以f'（x）=

-(ax+1)(x-1)

x

．
①若a≥0，由f'（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．
所以x=1是f（x）的极大值点．
②若a＜0，由f'（x）=0，得x=1，或x=-

1

a

．
因为x=1是f（x）的极大值点，所以-

1

a

＞1，解得-1＜a＜0．
综合①②：a的取值范围是a＞-1．
故答案为：a＞-1．

点评：本题考查函数的单调性、极值等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．