题目内容

已知正项数列{an}是等差数列，平面向量
OA
，
OB
，
OC
的终点在同一直线上，且
OA
=a1
OB
+a20
OC
，则
1
a10
+
2
a11
的最小值是
 
．
考点：基本不等式,平面向量的基本定理及其意义
专题：不等式的解法及应用,平面向量及应用
分析：由于平面向量
OA
，
OB
，
OC
的终点在同一直线上，且
OA
=a1
OB
+a20
OC
，利用向量共线定理可得
a1+a20=1．由于正项数列{an}是等差数列，可得a10+a11=a1+a20．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．
解答： 解：∵平面向量
OA
，
OB
，
OC
的终点在同一直线上，且
OA
=a1
OB
+a20
OC
，
∴a1+a20=1．
∵正项数列{an}是等差数列，
∴a10+a11=a1+a20=1．
∴
1
a10
+
2
a11
=（a10+a11）(
1
a10
+
2
a11
)=3+
a11
a10
+
2a10
a11
≥3+2
a11
a10
×
2a10
a11
=3+2
2
，
当且仅当a11=
2
a10=2-
2
．
∴
1
a10
+
2
a11
的最小值是3+2
2
．
故答案为：3+2
2
．
点评：本题考查了向量共线定理、等差数列的性质、“乘1法”和基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，请证明Sn，S2n-Sn，S3n-S2n（n∈N+）成等差数列．
与双曲线
x2
9
-
y2
7
=-1有相同焦点，且离心率为0.8的椭圆方程为
 
．
已知点P（2，1）在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的标准方程为
 
．
（文科）若方程
x2
5-m
+
y2
m+3
=1是椭圆”，则m的取值范围是
 
．
①不等式x2+bx+c＜0的解集为（2，3），则b-c=-11；
②函数f（x）=
x2-2x+5
+
x2-4x+13
的最小值为
29
；
③若角A，角B为钝角△ABC的两锐角，则有sinA+sinB＜cosA+cosB；
④在等比数列{an}中，a3=4，S3=12，则通项公式an=（-
1
2
）n-5．
⑤直线x-y+1=0关于点P（3，2）的对称直线为：x-y-3=0；
以上说法正确的是
 
．（填上你认为正确的序号）
直线（m-1）x+y+2m+1=0过定点
 
．
设定义在R上的可导函数f（x）满足f（1+x）=f（1-x），且当x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0．设a=f（0），b=f（
1
2
），c=f（3），则（　　）
A、a＞b＞c
B、a＞c＞b
C、b＞a＞c
D、b＞c＞a
函数y=f（x）的定义域为（a，b），y=f′（x）的图象如图，则函数y=f（x）在开区间（a，b）内取得极小值的点有（　　）
A、1个B、2个C、3个D、4个

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