Question

已知函数f（x）=x²+

a

x

（x≠0，a∈R），若函数f（x）在x∈[3，+∞）上是增函数，求a的最大值．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：根据题意，对f（x）求导，在x∈[3，+∞）上，f′（x）≥0恒成立；由此求出a的最大值即可．

解答： 解：∵f（x）=x²+

a

x

（x≠0，a∈R），
∴f′（x）=2x-

a

x2

=

2x3-a

x2

；
又∵f（x）在x∈[3，+∞）上是增函数，
∴当x≥3时，f′（x）≥0恒成立；
即2x³-a≥0，
∴a≤2x³；
又x=3时，2x³取得最小值2×3³=54，
∴a≤54；
即a的最大值是54．

点评：本题考查了利用导数研究函数的性质以及求函数最值的问题，解题时应灵活应用导数判断函数的单调性和求最值，是中档题．