Question

20．在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a：c=2：3，sinA=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
（1）求sinC，cosB的值；
（2）若$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{BC}$=-$\frac{27}{2}$，求边AC的长．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理以及两角和差的余弦公式进行求解即可．
（2）利用向量数量积的定义结合a，c的关系求出a，c，利用余弦定理进行求解即可．

解答 解：（1）∵a：c=2：3，sinA=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
∴$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$得sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{3×\frac{\sqrt{7}}{4}}{2}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$．
则cosA=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{7}}{4}）^{2}}$=$\frac{3}{4}$，cosC=$\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{7}}{8}）^{2}}$=$\frac{3}{8}$，
则cosB=-cos（A+C）=-（cosAcosC-sinAsinC）=-（$\frac{3}{4}$×$\frac{3}{8}$-$\frac{\sqrt{7}}{4}$×$\frac{3\sqrt{7}}{8}$）=-（$\frac{9}{32}-\frac{21}{32}$）=$\frac{3}{8}$；
（2）若$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{BC}$=-$\frac{27}{2}$，
则-cacosB=-$\frac{27}{2}$，
即ac×$\frac{3}{8}$=$\frac{27}{2}$，即ac=36，
∵a：c=2：3，∴a=$\frac{2}{3}$c，
则$\frac{2}{3}$c²=36，则c²=54，则c=3$\sqrt{6}$，a=2$\sqrt{6}$，
则b²=a²+c²-2accosB=24+54-2×$2\sqrt{6}×3\sqrt{6}×$$\frac{3}{8}$=51，
则AC=b=$\sqrt{51}$．

点评 本题主要考查正弦定理，余弦定理以及向量数量积的应用，考查学生的计算能力．