Question

9．已知函数f（x）=ax²-（a+1）x+2（a∈R）．
（I）当a=2时，解不等式f（x）＞1；
（Ⅱ）若对任意x∈[-1，3]，都有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=2时，函数f（x）=2x²-3x+2，求不等式f（x）＞1的解集即可；
（Ⅱ）讨论a=0与a＞0、a＜0时，函数f（x）在区间[-1，3]上的最小值是什么，
由此建立不等式求出a的集合即可．

解答 解：（Ⅰ）a=2时，函数f（x）=2x²-3x+2，
不等式f（x）＞1化为2x²-3x+1＞0，
解得x＜$\frac{1}{2}$或x＞1；
所以该不等式的解集为{x|x＜$\frac{1}{2}$或x＞1}；
（Ⅱ）由对任意x∈[-1，3]，都有f（x）≥0成立；
讨论：①当a=0时，f（x）=-x+2在区间[-1，3]上是单调减函数，
且f（3）=-3+2=-1＜0，不满足题意；
②当a＞0时，二次函数f（x）图象的对称轴为x=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2a}$＞$\frac{1}{2}$，
若$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2a}$＜3，则a＞$\frac{1}{5}$，函数f（x）在区间[-1，3]上的最小值为f（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2a}$）≥0，
即a²-6a+1≤0，解得3-2$\sqrt{2}$≤a≤3+2$\sqrt{2}$，取$\frac{1}{5}$＜a≤3+2$\sqrt{2}$；
若$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2a}$≥3，则0＜a≤$\frac{1}{5}$，函数f（x）在区间[-1，3]上的最小值为f（3）≥0，
解得a≥$\frac{1}{6}$，取$\frac{1}{6}$≤a≤$\frac{1}{5}$；
当a＜0时，二次函数f（x）图象的对称轴为x=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2a}$＜$\frac{1}{2}$，
函数f（x）在区间[-1，3]上的最小值为f（3）≥0，解得a≥$\frac{1}{6}$，此时a不存在；
综上，实数a的取值范围是$\frac{1}{6}$≤a≤3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了一元二次不等式与含有字母系数的不等式恒成立问题，解题的关键是分类讨论，是综合性题目．