Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+3

(n∈N*)．
（1）求证：{

1

an

+

1

2

}是等比数列；
（2）数列{b_n}满足b_n=（3ⁿ-1）•

n

2n

•an，数列{b_n}的前n项和为T_n，若不等式(-

1

2

)nλ＜Tn+

n

2n-1

对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a1=1，an+1=

an

an+3

(n∈N*)知，

1

an+1

+

1

2

=3(

1

an

+

1

2

)，由此能证明{

1

an

+

1

2

}是以

3

2

为首项，3为公比的等比数列．
（2）由

1

an

+

1

2

=

3

2

×3n-1=

3n

2

，得an=

2

3n-1

，bn=

n

2n-1

，由此利用错位相减法求出Tn=4-

n+2

2n-1

，从而(-

1

2

)nλ＜4-

1

2n-2

，由此能求出λ的取值范围．

解答： （1）证明：由a1=1，an+1=

an

an+3

(n∈N*)知，

1

an+1

+

1

2

=3(

1

an

+

1

2

)，
又

1

a1

+

1

2

=

3

2

，
∴{

1

an

+

1

2

}是以

3

2

为首项，3为公比的等比数列．…（5分）
（2）解：由（1）知

1

an

+

1

2

=

3

2

×3n-1=

3n

2

，
∴an=

2

3n-1

，∴bn=

n

2n-1

…（6分）
Tn=1×

1

20

+2×

1

21

+3×

1

22

+…+(n-1)×

1

2n-2

+n×

1

2n-1

，

Tn

2

=1×

1

21

+2×

1

22

+…+(n-1)×

1

2n-1

+n×

1

2n

，…（7分）
两式相减得

Tn

2

=

1

20

+

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

-n×

1

2n

=2-

n+2

2n

，
∴Tn=4-

n+2

2n-1

…（10分）
∴(-

1

2

)nλ＜4-

1

2n-2

若n为偶数，则(

1

2

)nλ＜4-

1

2n-2

，即λ＜2ⁿ⁺²-4，解得λ＜12
若n为奇数，则-(

1

2

)nλ＜4-

1

2n-2

-λ＜2ⁿ⁺²-4，解得-λ＜4，
∴λ＞-4∴-4＜λ＜12．…（14分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．