Question

已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=

2

，AA₁=1，点M，N分别为A₁B和B₁C₁的中点，求三棱锥A₁-MNC体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，点M是BC中点，点N在侧棱CC₁上，若MN⊥AB₁，

解答： 解：由题意知VB1-AA1C=

1

3

×

1

2

×

2

×1=

2

6

，
因为M为AB′中点，
所以VA1-B1MC=

1

2

VA1-B1AC=

1

2

VB1-AA1C，
因为N为B₁C中点，
所以VA1-MNC=

1

2

VA1-B1MC=

1

4

VB1-AA1C=

2

24

．
故三棱锥A₁-MNC体积为

2

24

．

点评：本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．