Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n+n=2a_n（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：数列{a_n+1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{a_n}满足b_n=a_n•log₂（a_n+1）（n∈N*），其前n项和为T_n，试求满足T_n+

n2+n

2

＞2015的最小正整数n．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得a_n=2a_n-1+1，从而a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2，n∈N^*），由此能证明数列{a_n+1}为等比数列，从而a_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）因为b_n=a_n•log₂（a_n+1）=（2ⁿ-1）n=n•2ⁿ-n，由此利用错位相减法能求出T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-

n(n+1)

2

．由T_n+

n2+n

2

＞2015，得（n-1）•2ⁿ⁺¹＞2013，由此能求出满足不等式T_n+

n2+n

2

＞2015的最小正整数n的值．

解答： （Ⅰ）证明：因为S_n+n=2a_n，所以S_n-1=2a_n-1-（n-1）（n≥2，n∈N^*）．
两式相减，得a_n=2a_n-1+1．
所以a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2，n∈N^*），
所以数列{a_n+1}为等比数列．
因为S_n+n=2a_n，令n=1得a₁=1．a₁+1=2，
所以a_n+1=2ⁿ，所以a_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）解：因为b_n=a_n•log₂（a_n+1）=（2ⁿ-1）n=n•2ⁿ-n，
所以T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ-（1+2+3+…+n），①
2T_n=2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹-2（1+2+3+…+n），②
①-②，得-T_n=2+2²+2⁴+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹+（1+2+3+…+n）
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹+

n(n+1)

2

=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹+

n(n+1)

2

，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-

n(n+1)

2

．
∵T_n+

n2+n

2

＞2015，
∴（n-1）•2ⁿ⁺¹＞2013，
n=7时，（n-1）•2ⁿ⁺¹=6×256=1536，
n=8时，（n-1）•2ⁿ⁺¹=7×512=3584，
∴满足不等式T_n+

n2+n

2

＞2015的最小正整数n的值是7．

点评：本题考查等比数列的证明和数列的通项公式的求法，考查满足不等式的最小正整数的求法，是中档题，解题时要注意错位相减法的合理运用．