Question

10．设函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+（a+3）x+3，其中a∈R，函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，且0≤x₁＜1．
（1）求实数a的取值范围；
（2）设函数φ（x）=f′（x）-a（x-x₁），当x₁＜x＜x₂时，求证：|φ（x）|＜9．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据△＞0，求出a的范围，根据根与系数的关系得到-a=x₁+$\frac{3{-x}_{1}}{{x}_{1}+1}$，设u=x₁+1∈[1，2），得到-a=u-1+$\frac{3-（u-1）}{u}$=u+$\frac{4}{u}$-2确定a的范围即可；
（2）求出φ（x）＞0，得到|φ（x）|=φ（x）=x²-${{x}_{1}}^{2}$＜${{x}_{2}}^{2}$-${{x}_{1}}^{2}$=-a$\sqrt{{a}^{2}-4a-12}$，根据a的范围证明即可．

解答 解：（1）f′（x）=x²+ax+a+3，
由题可知：x₁，x₂为f′（x）的两个根，且△=a²-4（a+3）＞0，得a＞6或a＜-2，
而$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{+x}_{2}=-a，（1）}\\{{x}_{1}{•x}_{2}=a+3，（2）}\end{array}\right.$，
由（1）（2）得：-a=x₁+$\frac{3{-x}_{1}}{{x}_{1}+1}$，设u=x₁+1∈[1，2），
有-a=u-1+$\frac{3-（u-1）}{u}$=u+$\frac{4}{u}$-2，
而y=u+$\frac{4}{u}$-2在[1，2）上为减函数，
则2＜u+$\frac{4}{u}$-2≤3，即2＜-a≤3，即-3≤a＜-2，
综上，-3≤a＜-2．
（2）证明：由0≤x₁＜1，x₁＜x＜x₂，知，
φ（x）=f′（x）-a（x-x₁）=（x-x₁）（x-x₂-a）=x²-${{x}_{1}}^{2}$＞0，
|φ（x）|=φ（x）=x²-${{x}_{1}}^{2}$＜${{x}_{2}}^{2}$-${{x}_{1}}^{2}$=（x₂+x₁）$\sqrt{{{（x}_{2}{+x}_{1}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$=-a$\sqrt{{a}^{2}-4a-12}$，
由（1）可知-3≤a＜-2，所以0＜a²-4a-12≤9，
所以|φ（x）|＜9．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，考查不等式的证明，是一道中档题．