Question

6．已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{n（{a_n}+3）}}$，S_n为数列{b_n}的前n项和，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有S_n＞$\frac{t}{72}$成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得d=2，进而得到所求通项公式；
（2）求出b_n=$\frac{1}{n（2n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），运用数列的求和方法：裂项相消求和，可得S_n，再假设存在最大的整数t，使得对任意的n均有S_n＞$\frac{t}{72}$成立，运用数列的单调性，可得S_n的最小值，即可得到t的最大整数．

解答 解：（1）等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，
由a₂，a₅，a₁₄构成等比数列，
可得a₅²=a₂a₁₄，
即有（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
解得d=2（0舍去），
可得a_n=2n-1（n∈N*）；
（2）b_n=$\frac{1}{{n（{a_n}+3）}}$=$\frac{1}{n（2n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
可得S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{n+1}$）
假设存在最大的整数t，使得对任意的n均有S_n＞$\frac{t}{72}$成立，
可得36（1-$\frac{1}{n+1}$）＞t，
由36（1-$\frac{1}{n+1}$）在n∈N*递增，可得最小值为36（1-$\frac{1}{2}$）=18，
则t＜18．可得t的最大整数为17．
故存在最大的整数t=17，使得对任意的n均有S_n＞$\frac{t}{72}$成立．

点评 本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，考查数列不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，以及数列的单调性，考查化简在合理的运算能力，属于中档题．