题目内容
3．给出下列结论：动点M（x，y）分别到两定点（-3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为$\frac{16}{9}$，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2，分别为曲线C的左、右焦点，则下列说法中：
（1）曲线C的焦点坐标为F1（-5，0）、F2（5，0）；
（2）当x＜0时，△F1MF2的内切圆圆心在直线x=-3上；
（3）若∠F1MF2=90°，则${S_{△{F_1}M{F_2}}}$=32；
（4）设A（6，1），则|MA|+|MF2|的最小值为2$\sqrt{2}$；
其中正确的序号是：①②．
分析 （1），由曲线C的标准方程可得c=$\sqrt{16+9}$=5；
（2）设A为内切圆与x轴的切点，由于|F2M|-|F1M|=|F2A|-|F1A|=2a=6，|F2A|+|F1A|=2c=10，可得|F2A|=8，|F1A|=2，解得xA，即可判断出；
（3），设|F1M|=m，|F1M|=n，m＞n，由m2+n2=102，m-n=6，得mn即可；
（4）不妨设点M在双曲线的右支上，根据定义可得|MF1|-|MF2|=2a=6，可得|MA|+|MF2|=|MA|+|MF1|-6，当A、M、F1三点共线时，|MA|+|MF2|的最小值为|AF1|-6．
解答 解：由题意可得$\frac{y}{x-3}•\frac{y}{x+3}=\frac{16}{9}$，化为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$（x≠±3）．
对于（1），由曲线C的标准方程可得c=$\sqrt{16+9}$=5，∴曲线C的焦点坐标为F1（-5，0）、F2（5，0），正确；
对于（2）设A为内切圆与x轴的切点，∵|F2M|-|F1M|=|F2A|-|F1A|=2a=6，|F2A|+|F1A|=2c=10，∴|F2A|=8，|F1A|=2，∴5-xA=8，解得xA=-3．设圆心P，则PO⊥x轴，从而可得圆心在直线x=-3上，因此正确；
对于（3），设|F1M|=m，|F1M|=n，m＞n，∵∠F1MF2=90°，∴m2+n2=102，m-n=6，
∴S${\;}_{△{F}_{1}M{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$mn=16，故错；
对于（4），不妨设点M在双曲线的右支上，∵|MF1|-|MF2|=2a=6，∴|MA|+|MF2|=|MA|+|MF1|-6，当A、M、F1三点共线时，|MA|+|MF2|的最小值为|AF1|-6=$\sqrt{122}$-6．因此不正确．
综上可得：正确命题的序号是（1）（2）．
故答案为：（1）（2）．
点评 本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、三角形的内切圆的性质、斜率计算公式，考查了转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
优等生题库系列答案
53天天练系列答案| A． | （1，1，1） | B． | （1，2，2） | C． | （1，2，4） | D． | （1，1，2） |
| A． | $\frac{π}{2}$ | B． | π | C． | 2π | D． | 4π |
| A． | （-$\frac{1}{3}$，+∞） | B． | （$\frac{1}{3}$，1） | C． | （-∞，-$\frac{1}{3}$） | D． | （-1，-$\frac{1}{3}$） |