Question

已知函数f（x）=x|x-4|．
（1）写出f（x）的单调区间；
（2）设m＞0，求f（x）在[0，m]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）化简f（x）=x|x-4|=

x2-4x，x≥4 -x2+4x，x＜4

；从而由二次函数的单调性判断即可；
（2）由（1）中函数的单调性讨论m的取值范围以确定函数的单调性，从而求最值．最后用分段函数表示．

解答： 解：（1）f（x）=x|x-4|=

x2-4x，x≥4 -x2+4x，x＜4

；
则由二次函数的单调性知，
f（x）的单调递增区间是（-∞，2]和[4，+∞）；
单调递减区间是[2，4]．
（2）①当0＜m＜2时，f（x）在[0，m]上是增函数，
此时f（x）在[0，m]上的最大值是f（m）=m（4-m）；
②当2≤m≤4时，f（x）在[0，2]上是增函数，在[2，m]上是减函数，
所以此时f（x）在[0，m]上的最大值是f（2）=4；
③当4＜m≤2+2

2

时，f（x）在[0，2]是增函数，在[2，4]上是减函数，在[4，m]上是增函数，
而f（m）≤f（2+2

2

）=f（2），
所以此时f（x）在[0，m]上的最大值是f（2）=4；
④当m＞2+2

2

时，
f（x）在[0，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，在[4，m]上是增函数，
而f（m）＞f（2+2

2

）=f（4），
所以此时f（x）在[0，m]上的最大值是f（m）=m（4-m）；
综上所述，f_max（x）=

m(4-m)，0＜m＜2 4，2≤m≤2+2 2 m(4-m)，m＞2+2 2

．

点评：本题考查了分段函数的单调性及二次函数的单调性的应用，同时考查了函数的最值的求法，属于中档题．