Question

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，E是侧棱PD的中点．
（I）求证：PB∥平面ACE；
（Ⅱ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅲ）若PA=2，求三棱锥P-ABE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）判断EO∥PB，EO?平面ACE；PB?平面ACE得出：PB∥平面ACE；
（Ⅱ）判断PB⊥BC，且PB∩AB=B，PA⊥平面ABCD；
（Ⅲ）AB⊥面PAD，V_P-ABE=V_B-PAE=

1

3

S_△PAE•AB，运用求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）证明：连接BD交AC与O，连接EO，
∵底面ABCD是正方形，
∴O为BD的中点，
∵又E为PD的中点，
∴在△PBD中，EO为其中位线，
∴EO∥PB，
∵EO?平面ACE；PB?∴
∴PB∥平面ACE；
（Ⅱ）证明：∵底面ABCD是边长为2的正方形，
∴AB⊥BC，
∵PB⊥BC，且PB∩AB=B，
∴BC⊥面PAB，
∵PA?平面PAB，∴PA⊥BC，
同理可证PA⊥CD，
∵BC∩CD=C，BC?面ABCD，CD?面ABCD，
∴PA⊥平面ABCD；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知PA⊥AB，
又AB⊥AD，
∴AB⊥面PAD，
∵PA=2，在Rt△PAD中，E为PD的中点，
∴S_△PAE=

1

2

S△PAD═

1

2

×(

1

2

×2×2)=1，
∴V_P-ABE=V_B-PAE=

1

3

S_△PAE•AB=

1

3

×1×2=

2

3

，

点评：本题考查空间几何体的性质，证明直线平面的垂直，求解体积问题，属于中档题．