Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程是y=±

2

2

x．
（1）求该双曲线的离心率；
（2）若点P（2，1）在双曲线E上，求直线y=kx+1与该双曲线有且仅有一个公共点时相应的k值．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出双曲线的渐近线方程，得到a，b的关系，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到；
（2）代入P的坐标，得到a，b的方程，解方程即可得到a，b，再联立直线方程和双曲线方程，消去y，再讨论二次项系数为0，及不为0，判别式为0的两种情况，解得即可．

解答： 解：（1）双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±

b

a

x，
则有

b

a

=

2

2

，即有c=

a2+b2

=

a2+ 1 2 a2

=

6

2

a，
即有双曲线的离心率e=

c

a

=

6

2

；
（2）点P（2，1）在双曲线上，
则有

4

a2

-

1

b2

=1，
又

b

a

=

2

2

，解得，a=

2

，b=1．
则双曲线的方程为

x2

2

-y²=1．
联立

y=kx+1 x2-2y2=2

，消去y得：（1-2k²）x²-4kx-4=0．
当1-2k²=0时，即k=±

2

2

，x=-

1

k

，
此时直线l与双曲线有且仅有一个公共点，满足题意．        
当1-2k²≠0时，△=16k²-4（1-2k²）×（-4）=0．解得k=±1．
综上所述k=±

2

2

或k=±1．

点评：熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线的相交问题，掌握方程联立利用△与方程根的关系、分类讨论的思想方法等是解题的关键．