题目内容
已知正项数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足an=
+
（n≥2）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{
}的前n项和为Tn，求证：
≤Tn＜
(n≥2)．
| Sn |
| Sn-1 |
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{
| 1 |
| Sn |
| 5 |
| 4 |
| 7 |
| 4 |
考点：数列与不等式的综合,数列的求和
专题：等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）由已知得
-
=1，从而得到数列{
}是首项为1，公差为1的等差数列，得
=n，由此能求出an=2n-1．
（Ⅱ）由
=
，n≥2，得Tn=C1+C2+…+Cn≥C1+C2=
，利用裂项求和法推导出Tn=
-
＜
，由此能证明
≤Sn＜
(n≥2)．
| Sn |
| Sn-1 |
| Sn |
| Sn |
（Ⅱ）由
| 1 |
| Sn |
| 1 |
| n2 |
| 5 |
| 4 |
| 7 |
| 4 |
| 1 |
| n |
| 7 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 7 |
| 4 |
解答：
（Ⅰ）解：因为an=
+
，
所以Sn-Sn-1=
+
，
即
-
=1，
所以数列{
}是首项为1，公差为1的等差数列，得
=n，
所以an=
+
=n+(n-1)=2n-1（n≥2），
当n=1时a1=1也适合．
所以an=2n-1．…（7分）
（Ⅱ）证明：
=
，
因为n≥2，所以Tn=C1+C2+…+Cn≥C1+C2=
，
Tn=1+
+
+…+
＜1+
+(
-
)+(
-
)+…+(
-
)
=
-
＜
．
所以
≤Sn＜
(n≥2)．…（14分）
| Sn |
| Sn-1 |
所以Sn-Sn-1=
| Sn |
| Sn-1 |
即
| Sn |
| Sn-1 |
所以数列{
| Sn |
| Sn |
所以an=
| Sn |
| Sn-1 |
当n=1时a1=1也适合．
所以an=2n-1．…（7分）
（Ⅱ）证明：
| 1 |
| Sn |
| 1 |
| n2 |
因为n≥2，所以Tn=C1+C2+…+Cn≥C1+C2=
| 5 |
| 4 |
Tn=1+
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| n2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| n-1 |
| 1 |
| n |
=
| 7 |
| 4 |
| 1 |
| n |
| 7 |
| 4 |
所以
| 5 |
| 4 |
| 7 |
| 4 |
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．
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