Question

曲线C上任一点到点，的距离的和为12，C与x轴的负半轴、正半轴依次交于A、B两点，点P在C上，且位于x轴上方，．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）求点P的坐标；
（Ⅲ）以曲线C的中心为圆心，AB为直径作圆O，过点P的直线l截圆O的弦MN长为，求直线l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）所求的直线l的方程为或

（Ⅰ）设G是曲线C上任一点，依题意，
∴曲线C是以E、F为焦点的椭圆，且椭圆的长半轴a=6，半焦距c=4，
∴短半轴b=，
∴所求的椭圆方程为；
（Ⅱ）由已知,，设点P的坐标为，则
由已知得
则，解之得，
由于，所以只能取，于是，
所以点P的坐标为；
（Ⅲ）圆O的圆心为（0，0），半径为6，其方程为，
若过P的直线l与x轴垂直，则直线l的方程为，这时，圆心到l的距离，
∴，符合题意；
若过P的直线l不与x轴垂直，设其斜率为k，则直线l的方程为，
即，这时，圆心到l的距离 
∴，
化简得，，∴，
∴直线l的方程为，
综上，所求的直线l的方程为或