Question

设函数f（x）=|2x-1|-|x+2|．
（1）求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）≥t²-3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（1）通过对x范围的分类讨论，去掉绝对值符号，可得f（x）=

x-3，x≥ 1 2 -3x-1，-2≤x＜ 1 2 3-x，x＜-2

，再解不等式f（x）≥3即可求得其解集；
（2）当x∈[0，1]时，易求f（x）_max=-1，从而解不等式t²-3t＞-1即可求得实数t的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x-3，x≥ 1 2 -3x-1，-2≤x＜ 1 2 3-x，x＜-2

，
∴原不等式转化为

x≥ 1 2 x-3≥3

或

-2≤x＜ 1 2 -3x-1≥3

或

x＜-2 3-x≥3

，
解得：x≥6或-2≤x≤-

4

3

或x＜-2，
∴原不等式的解集为：（-∞，-

4

3

]∪[6，+∞）；
（2）只要f（x）_max＜t²-3t，
由（1）知，当x∈[0，1]时，f（x）_max=-1，
∴t²-3t＞-1，
解得：t＞

3+ 5

2

或t＜

3- 5

2

．
∴实数t的取值范围为（-∞，

3- 5

2

）∪（

3+ 5

2

，+∞）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，通过对x范围的分类讨论，去掉绝对值符号是关键，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．