Question

函数f（x）=

ax+3 ， (x≤1) 1 x +1 ，  (x＞1)

，满足对任意定义域中的x₁，x₂（x₁≠x₂），[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0总成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，0）
• B、[-1，0）
• C、（-1，0）
• D、（-1，+∞），

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：依题意知，f（x）=

ax+3 ， (x≤1) 1 x +1 ，  (x＞1)

为定义域上的减函数，从而得不等式组

a＜0 a×1+3≥ 1 1 +1

，解之即可．

解答： 解：∵对任意定义域中的x₁，x₂（x₁≠x₂），[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0总成立，
∴f（x）=

ax+3 ， (x≤1) 1 x +1 ，  (x＞1)

为定义域上的减函数，
作图如下：

∴

a＜0 a×1+3≥ 1 1 +1

，即

a＜0 a≥-1

，
∴-1≤a＜0，
∴实数a的取值范围是[-1，0），
故选：B．

点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查函数的单调性，考查作图能力与解不等式组的能力，属于中档题．