Question

已知函数f（x）=lnx
（1）若方程f（x+a）=x有且只有一个实数解，求a的值；
（2）若函数g（x）=f（x）+

1

2

x²-mx（m≥

5

2

）的极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）恰好是函数h（x）=f（x）-2x²-bx的零点，记h′（x）为函数h（x）的导函数，求y=（x₁-x₂）h′（

x1+x2

2

）的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）利用数形结合的思想，根据导数的几何意义，设切点为（x₀，x₀），继而求出a的值．
（2）先根据函数g（x）=f（x）+

1

2

x²-mx（m≥

5

2

）的极值点x₁，x₂求得x₁+x₂=m，x₁•x₂=1，再根据极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）恰好是函数h（x）=f（x）-2x²-bx的零点，得到b=-2m+

4

m

，再化简y=（x₁-x₂）h′（

x1+x2

2

）得到
y=

m2-4

•（2m+

2

m

），判断出在m∈[

5

2

，+∞）上为增函数，继而求出y的最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx，
∴f（x+a）=ln（x+a），x＞-a，且x＞0，
∴f（x+a）=x有且只有一个实数解，
分别画出函数y=f（x+a）的图象和y=x的图象，如图所示，
当y=f（x+a）的图象和y=x的图象相切时只有一个实数解，
设切点为（x₀，x₀），
∴k=f′（x₀+a）=

1

x0+a

=1，①
x₀=f（x₀+a）=ln（x₀+a），②
解得a=1，
（2）∵g（x）=f（x）+

1

2

x²-mx=lnx+

1

2

x²-mx，
∴g′（x）=

1

x

+x-m=

x2-mx+1

x

，
令g′（x）=

x2-mx+1

x

=0，
得x²-mx+1=0，
∵函数g（x）=f（x）+

1

2

x²-mx（m≥

5

2

）的极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）
∴x₁+x₂=m，x₁•x₂=1，
∴x₁-x₂=-

m2-4

∵x₁，x₂（x₁＜x₂）恰好是函数h（x）=f（x）-2x²-bx的零点，
即h（x）=f（x）-2x²-bx=lnx-2x²-bx=0由两个解分别为x₁，x₂，
∴h（x₁）=lnx₁-2x₁²-bx₁=0，③
h（x₂）=lnx₂-2x₂²-bx₂=0，④
由③+④得lnx₁-2x₁²-bx₁+lnx₂-2x₂²-bx₂=0，
整理得2m²+bm-4=0，
即b=-2m+

4

m

∵h′（x）为函数h（x）的导函数，
∴h′（x）=

1

x

-4x-b，
∴h′（

x1+x2

2

）=

2

x1+x2

-4（x₁+x₂）-b，
∴y=（x₁-x₂）h′（

x1+x2

2

）=-

m2-4

•（

2

m

-4m-b）=-

m2-4

•（

2

m

-4m+2m-

4

m

）=

m2-4

•（2m+

2

m

）
设F（m）=

m2-4

，G（m）=2m+

2

m

，
∴G′（m）=

2(m2-1)

m2

，
∵m≥

5

2

，
∴G′（m）＞0，故G（m）=2m+

2

m

在m∈[

5

2

，+∞）上为增函数，
又F（m）=

m2-4

在m∈[

5

2

，+∞）上为增函数，
∴y=

m2-4

•（2m+

2

m

）在m∈[

5

2

，+∞）上为增函数，
∴当m=

5

2

时，y有最小值，最小值为y_min=

25 4 -4

•（2×

5

2

+2×

2

5

）=

87

10

点评：本题主要考查了导数的几何意义，函数的极值点，函数零点的问题，复合函数的单调性，函数最值的问题，关键是求出b与m的关系，培养学生的分析问题，解决问题的能力，本题的计算量较大，属于难题．