Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，点E、F分别是PD、BC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）求证：AD⊥PB．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）做DA的中点M，连接MF，ME，通过中位线的性质证明出EM∥PA，MF∥AB，进而根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理证明出面MEF∥面ABP，继而根据面面平行的性质证明出EF∥平面PAB；
（2）先分别证明出PA⊥AD，PD⊥BC，进而根据线面垂直的判定定理证明出AD⊥平面PAB，即可得出结论．

解答： 证明：（1）做DA的中点M，连接MF，ME，
∵E、F、M均为中点，
∴EM∥PA，MF∥AB，
∵PA?平面PAB，AB?平面PAB，AB∩PA=A，
∴面MEF∥面ABP，
∵EF?面MEF，
∴EF∥平面PAB；
（2）∵PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PA⊥AD，
∵底面ABCD为正方形，
∴AD⊥AB．
∵PA∩AB=A，
∴AD⊥平面PAB，
∵PB?平面PAB，
∴AD⊥PB．

点评：本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理的应用．考查了学生对线面平行，线面垂直判定定理的记忆．