题目内容
设函数f（x）=
x3+ax2-3a2x+2a-1（a＞0）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数g（x）=x2+4x+9a3+7，且对任意实数x1，x2∈（-∞，a），不等式f（x1）＜g（x2）恒成立，求a的取值范围．
| 1 |
| 3 |
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数g（x）=x2+4x+9a3+7，且对任意实数x1，x2∈（-∞，a），不等式f（x1）＜g（x2）恒成立，求a的取值范围．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：（I）f′（x）=x2+2ax-3a2=（x+3a）（x-a）（a＞0）．由a＞0，可知a＞-3a．分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出函数的单调区间．
（II）对任意实数x1，x2∈（-∞，a），不等式f（x1）＜g（x2）恒成立?x∈（-∞，a），f（x）max＜g（x）min．分别利用导数和二次函数研究其单调性极值最值即可．
（II）对任意实数x1，x2∈（-∞，a），不等式f（x1）＜g（x2）恒成立?x∈（-∞，a），f（x）max＜g（x）min．分别利用导数和二次函数研究其单调性极值最值即可．
解答：
解：（I）f′（x）=x2+2ax-3a2=（x+3a）（x-a）（a＞0）．
∵a＞0，∴a＞-3a．
令f′（x）＞0，解得x＞a或x＜-3a；令f′（x）＜0，解得-3a＜x＜a．
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-3a），（a，+∞）；f（x）的单调递减区间为（-3a，a）．
（II）对任意实数x1，x2∈（-∞，a），不等式f（x1）＜g（x2）恒成立?x∈（-∞，a），f（x）max＜g（x）min．
由（I）可知：f（x）在区间（-∞，-3a）单调递增；在区间（-3a，a）上单调递减．
∴f（x）max=f（-3a）=-9a3+9a3+9a3+2a-1=9a3+2a-1．
g（x）=（x+2）2+9a3+3≥9a3+3，∴当x=-2时，g(x)min=9a3+3．
∴9a3+2a-1≤9a2+3，又a＞0，解得0＜a≤2．
∴a的取值范围是（0，2]．
∵a＞0，∴a＞-3a．
令f′（x）＞0，解得x＞a或x＜-3a；令f′（x）＜0，解得-3a＜x＜a．
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-3a），（a，+∞）；f（x）的单调递减区间为（-3a，a）．
（II）对任意实数x1，x2∈（-∞，a），不等式f（x1）＜g（x2）恒成立?x∈（-∞，a），f（x）max＜g（x）min．
由（I）可知：f（x）在区间（-∞，-3a）单调递增；在区间（-3a，a）上单调递减．
∴f（x）max=f（-3a）=-9a3+9a3+9a3+2a-1=9a3+2a-1．
g（x）=（x+2）2+9a3+3≥9a3+3，∴当x=-2时，g(x)min=9a3+3．
∴9a3+2a-1≤9a2+3，又a＞0，解得0＜a≤2．
∴a的取值范围是（0，2]．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次函数的单调性，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
在三角形ABC中，A=30°，AB=
，BC=1，则AC=（ ）
| 3 |
| A、1 | ||
B、
| ||
| C、2 | ||
| D、1或2 |
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，点E、F分别是PD、BC的中点．