Question

已知a_n=2n+1，b_n=

1

an

，S_n=b₁²+b₂²+b₃²+…+b_n²，求证：S_n＜

1

4

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由

1

(2n+1)2

＜

1

2

（

1

2n

-

1

2n+2

），利用放缩法进行证明．

解答： 证明：∵a_n=2n+1，∴b_n=

1

an

=

1

2n+1

，
∵

1

(2n+1)2

＜

1

2

（

1

2n

-

1

2n+2

），
∴S_n=b₁²+b₂²+b₃²+…+b_n²
=

1

32

+

1

52

+

1

72

+…+

1

(2n+1)2

＜

1

2

（

1

2

-

1

4

+

1

4

-

1

6

+…+

1

2n

-

1

2n+2

）
=

1

2

(

1

2

-

1

2n+2

)
=

1

4

-

1

4n+4

＜

1

4

．
∴S_n＜

1

4

．

点评：本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意放缩法的合理运用．