Question

给出以下五个命题：
①对于任意的a＞0，b＞0，都有a^lgb=b^lga成立；
②直线y=x•tanα+b的倾斜角等于α；
③与两条异面直线都平行且距离相等的平面有且只有一个；
④在平面内，如果将单位向量的起点移到同一个点，那么终点的轨迹是一个半径为1的圆；
⑤已知函数y=f（x），若存在常数M＞0，使|f（x）|＜M•|x|对定义域内的任意x均成立，则称f（x）为“倍约束函数”．对于二次函数f（x）=x²+1，该函数是倍约束函数．
其中真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题

分析：①中，由a＞0，b＞0得出lga^lgb=lgb^lga=lga•lgb，判定①正确；
②中，由当且仅当α∈[0，

π

2

）∪（

π

2

，π）时，直线y=x•tanα+b的倾斜角等于α，判定②错误；
③中，由分别过两异面直线a，b作平面α，β，能使α∥β的平面有且仅有一对，得出③正确；
④中，由平面内单位向量的起点在同一点时，它终点的轨迹是一个半径为1的圆，判定④正确；
⑤中，举例说明二次函数f（x）=x²+1不是倍约束函数，从而判定⑤错误．

解答： 解：对于①，当a＞0，b＞0时，∵b^lga＞0，a^lgb＞0，∴lga^lgb=lgb•lga，lgb^lga=lga•lgb，∴a^lgb=b^lga；∴①正确；
对于②，当α∈[0，

π

2

）∪（

π

2

，π）时，直线y=x•tanα+b的倾斜角等于α，否则不等于；∴②错误；
对于③，分别过两条异面直线a，b作平面α，β，其中能使α∥β的平面有且仅有一对；
若要作一平面与两异面直线同时平行且距离相等，则所作平面必须与α，β同时平行且距离相等，这样的平面有且只有一个；∴③正确；
对于④，在平面内，将单位向量的起点移到同一个点，它终点的轨迹是一个半径为1的圆；∴④正确；
对于⑤，∵f（0）=1，|f（0）|=M•0=0，不满足|f（x）|≤M•|x|，∴二次函数f（x）=x²+1不是倍约束函数，⑤错误．
综上，正确的命题有①③④．
故答案为：①③④．

点评：本题通过命题真假的判定，考查了对数的运算性质，直线的斜率与倾斜角的关系，空间中的两条异面直线的概念以及应用，平面向量的知识和新定义的问题应用等知识，是综合题目．