Question

设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数；
（1）若f（1）＞0，判断f（x）的单调性并求不等式f（x+2）+f（x-4）＞0的解集；
（2）若f（1）=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-4f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

考点：指数函数综合题,函数单调性的性质,函数奇偶性的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：由题意，先由奇函数的性质得出k的值，
（1）由f（1）＞0求出a的范围，得出函数的单调性，利用单调性解不等式；
（2）f（1）=

3

2

得出a的值，将函数变为g（x）=2^2x+2^-2x-4 （2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-4（2^x-2^-x）+2，再利用换元法求出函数的最小值．

解答： 解：函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数，可得f（0）=0，从而得k-1=0，即k=1．
（1）由f（1）＞0可得a-

1

a

＞0，解得a＞1，所以f（x）=a^x-a^-x是增函数，
由f（x+2）+f（x-4）＞0可得f（x+2）＞-f（x-4）=f（4-x），
所以x+2＞4-x，解得x＞3，
即不等式的解集是（3，+∞）．
（2）f（1）=

3

2

得a-

1

a

=

3

2

，解得a=2，故g（x）=2^2x+2^-2x-4 （2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-4（2^x-2^-x）+2，
令t=2^x-2^-x，它在[1，+∞）上是增函数，故t≥

3

2

，即g（x）=t2-4t+2，t≥

3

2

．
此函数的对称轴是t=2≥

3

2

，故最小值为2²-4×2+2=-2．

点评：本题考查指数函数与奇偶性单调性结合的题，综合性强，本题第二小题考查复函数最值的求法，换元法解此类题可大大降低难度．