Question

已知定义在R上的函数f（x）对任意x，y∈R均有：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（x）不恒为零．则下列结论正确的是

 

①f（0）=0
②f（0）=1
③f（0）=0或f（0）=1
④函数f（x）为偶函数
⑤若存在实数a≠0使f（a）=0，则f（x）为周期函数且2a为其一个周期．

Answer 1

考点：函数的周期性,抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（x）不恒为零，可解出f（0）=1，故可判断①②③④；代入f（a）=0求函数的周期即可．

解答： 解：由f（x）不恒为零，若f（0）=0，则f（x）+f（x）=0，故①错误；
令x=y=0，则f（0）+f（0）=2f（0）•f（0），
解得，f（0）=1，②正确；
由以上知，③错误；
令x=0，则f（y）+f（-y）=2f（y），
即f（-y）=f（y），又∵定义域为R；
故④正确；
由题意，f（x+a）+f（x-a）=0，
则f（x+a）=-f（x-a）=f（x-3a），
故4a是其一个周期；
故⑤不正确；
故答案为：②④．

点评：本题考查了抽象函数的函数值及周期性判断，属于中档题．