Question

已知圆经过点A（2，-3）和B（-2，-5），
（1）若圆心在直线x-2y-3=0上，求圆的方程；
（2）若圆的面积最小，求圆的方程．

Answer 1

考点：圆的标准方程

专题：综合题

分析：（1）根据点A和点B的坐标，求出直线AB的斜率，进而根据两直线垂直时斜率乘积为-1，求出线段AB中垂线的斜率，然后再利用中点坐标公式求出线段AB的中点坐标，根据求出的斜率和中点坐标写出线段AB中垂线的直线方程，与直线x-2y-3=0联立即可求出交点的坐标即为圆心的坐标，再根据两点间的距离公式求出圆心到点A的距离即为圆的半径，根据圆心坐标与半径写出圆的标准方程即可；
（2）要使圆的面积最小，线段AB为圆的直径，根据（1）中求出的线段AB的中点坐标即为所求圆的圆心，利用两点间的距离公式求出线段AB长度的一半即为圆的半径，根据求出的圆心和半径写出圆的标准方程即可．

解答： 解：（1）因为k_AB=

1

2

，AB中点为（0，-4），所以AB中垂线方程为y+4=-2x，即2x+y+4=0，
解方程组

2x+y+4=0 x-2y-3=0

得

x=-1 y=-2.

所以圆心为（-1，-2），
根据两点间的距离公式，得半径r=

10

，
因此，所求的圆的方程为（x+1）²+（y+2）²=10；

（2）要使圆的面积最小，则AB为圆的直径，
由（1）得AB的中点坐标即所求圆心坐标为（0，-4），
而|AB|=

[2-(-2)]2+ [-3-(-5)]2

=2

5

，所以圆的半径r=

5

，
则所求圆的方程为：x²+（y+4）²=5．

点评：此题考查学生掌握两直线垂直时斜率满足的关系，灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．