Question

假设电梯在每层停的概率相等且相互独立，则十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？数学期望是多少？

Answer 1

考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率,离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：计算题

分析：由于电梯在每层停的概率相等且相互独立，十层电梯从低层到顶层停不少于3次，包括停3次，停4次，停5次，…直到停9次，根据相互独立事件概率加法公式，我们计算出停3次，停4次，…，停9次的概率，进而即可得到答案．设从低层到顶层停k次，我们易计算其概率，根据组合数公式，易分析出结论，又由各层停的概率均为

1

2

，根据二项分布公式，易得到其数学期望．

解答： 解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，…直到停9次（2分）
∴从低层到顶层停不少于3次的概率
P=

C

3 9

(

1

2

)3(

1

2

)6+

C

4 9

(

1

2

)4(

1

2

)5+

C

5 9

(

1

2

)5(

1

2

)4+…+

C

9 9

(

1

2

)9  =

(C

3 9

+

C

4 9

+

C

5 9

+…+

C

9 9

)(

1

2

)9=

233

256

（6分）
设从低层到顶层停k次，则其概率为

C

k 9

(

1

2

)k(

1

2

)9-k=

C

k 9

(

1

2

)9  ，
∴当k=4或k=5时，C₉^k最大，即

C

k 9

(

1

2

)9  最大．（9分）
其分布为二项分布，所以E（ξ）=9•

1

2

=

9

2

答：从低层到顶层停不少于3次的概率为

233

256

，停4次或5次概率最大，其数学期望为

9

2

（13分）

点评：本题考查的知识点是n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．