Question

已知A盒中有2个红球和2个黑球；B盒中有2个红球和3个黑球，现从A盒与B盒中各取一个球出来再放入对方盒中．
（1）求A盒中有2个红球的概率；
（2）求A盒中红球数ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）A盒与B盒中各取一个球出来再放入对方盒中后，A盒中还有2个红球有下面两种情况：①互换的是红球，②互换的是黑球，由此能求出A盒中有2个红球的概率．
（2）A盒中红球数ξ的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： 解：（1）A盒与B盒中各取一个球出来再放入对方盒中后，
A盒中还有2个红球有下面两种情况：
①互换的是红球，将该事件记为A₁，
则：P（A₁）═

C 1 2 •C 1 2

C 1 4 •C 1 5

=

1

5

；
②互换的是黑球，将该事件记为A₂，
则：P（A₂）═

C 1 2 •C 1 2

C 1 4 •C 1 5

=

3

10

．
∴A盒中有2个红球的概率p=

1

5

+

3

10

=

1

2

．
（2）A盒中红球数ξ的所有可能取值为1，2，3，
P（ξ=1）=

C 1 2 •C 1 3

C 1 4 •C 1 5

=

3

10

；
P（ξ=2）=

1

2

，
P（ξ=3）=

C 1 2 •C 1 2

C 1 4 •C 1 5

=

1

5

，
∴ξ的分布列为：

ξ	1	2	3
P	3 10	1 2	1 5

∴Eξ=

3

10

×1+

1

2

×2+

1

5

×3=

19

10

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．