Question

已知函数f（x）=3x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，且点（a_n，2S_n）在函数y=f（x）的图象上；
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=f（a_n），数列{b_n}的前n项和为T_n，若 

T2n+4n

Tn+2n

＜a_n+1+t对任意的n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用f（x）=3x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，且点（a_n，2S_n）在函数y=f（x）的图象上，可得2S_n=3a_n-2，再写一式，两式相减，可得{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出数列{b_n}的前n项和为T_n，

T2n+4n

Tn+2n

＜a_n+1+t对任意的n∈N^*恒成立，转化为3ⁿ+1＜2•3ⁿ+t对任意的n∈N^*恒成立，即可求出实数t的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=3x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，且点（a_n，2S_n）在函数y=f（x）的图象上，
∴2S_n=3a_n-2①…（1分）
当n=1时，2S₁=3a₁-2，∴a₁=2 …（2分）
当n≥2时，2S_n-1=3a_n-1-2②…（3分）
①-②有：a_n=3a_n-1 …（5分）
∴{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴a_n=2•3^n-1．…（6分）
（2）b_n=f（a_n）=2•3ⁿ-2．                …（7分）
∴T_n=2（3+3²+…+3ⁿ）-2n=3ⁿ⁺¹-2n-3．                            …（9分）
∴

T2n+4n

Tn+2n

=

(3n-1)(3n+1)

3n-1

=3ⁿ+1           …（11分）
∵

T2n+4n

Tn+2n

＜a_n+1+t对任意的n∈N^*恒成立，
∴3ⁿ+1＜2•3ⁿ+t对任意的n∈N^*恒成立，
即t＞（-3ⁿ+1）_max．    …（12分）
∴t＞-2．                                            …（14分）

点评：本题考查数列通项与求和，考查恒成立问题，体现了数列的函数特性，同时考查了运算能力，属中档题．