题目内容
设f-1（x）是函数f（x）=
（ax-a-x）（a＞1）的反函数，则使f-1（x）＞1成立的x的取值范围是 ．
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考点：导数的运算,反函数
专题：函数的性质及应用
分析：利用一元二次方程的解法得出函数f（x）=
（ax-a-x）（a＞1）的反函数，再通过分类讨论即可解出根式类型的不等式的解集．
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解答：
解：由y=
(ax-a-x)，化为（ax）2-2yax-1=0，解得ax=y±
，
∵ax＞0，∴ax=y+
．
把x与y互换可得ay=x+
，
∴y=loga(x+
)，
∴f-1（x）=loga(x+
)（x∈R）．（a＞1）．
∵f-1（x）＞1成立，∴loga(x+
)＞1，
又a＞1，
∴x+
＞a，
①当x＞a时，上述不等式恒成立；
②当x≤a时，上述不等式变为
＞a-x，
两边平方化为2ax＞a2-1，∴x＞
．
因此
＜x≤a．
综上可得：使f-1（x）＞1成立的x的取值范围是(
，+∞)．
故答案为：(
，+∞)．
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| y2+1 |
∵ax＞0，∴ax=y+
| y2+1 |
把x与y互换可得ay=x+
| x2+1 |
∴y=loga(x+
| x2+1 |
∴f-1（x）=loga(x+
| x2+1 |
∵f-1（x）＞1成立，∴loga(x+
| x2+1 |
又a＞1，
∴x+
| x2+1 |
①当x＞a时，上述不等式恒成立；
②当x≤a时，上述不等式变为
| x2+1 |
两边平方化为2ax＞a2-1，∴x＞
| a2-1 |
| 2a |
因此
| a2-1 |
| 2a |
综上可得：使f-1（x）＞1成立的x的取值范围是(
| a2-1 |
| 2a |
故答案为：(
| a2-1 |
| 2a |
点评：本题考查了求函数的反函数的方法、分类讨论、解根式类型的方程的方法，属于中档题．
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