Question

已知函数f（x）=|x-3|-2，g（x）=-|x+1|+4．
（Ⅰ）若函数f（x）的值不大于1，求x的取值范围；
（Ⅱ）若不等式f（x）-g（x）≥m+1的解集为R，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）直接由题意列绝对值的不等式，求解绝对值不等式得答案；
（Ⅱ）由公式|a|+|b|≥|a+b|求解f（x）-g（x）的最小值，再由m+1小于等于该最小值得答案．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）的值不大于1，即|x-3|-2≤1，|x-3|≤3，
则-3≤x-3≤3，∴0≤x≤6．
∴x的取值范围是[0，6]；
（Ⅱ）f（x）-g（x）=（|x-3|-2）-（-|x+1|+4）=|x-3|+|x+1|-6．
∵对任意x∈R，f（x）-g（x）=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6
≥|（3-x）+（x+1）|-6=4-6=-2．
于是m+1≤-2，解得m≤-3．
即m的取值范围是：（-∞，-3]．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了绝对值不等式的解法，考查了公式|a|+|b|≥|a+b|的应用，是中档题．