题目内容

对任意两个非零的平面向量
α
和
β
，定义
α
o
β
=
α
•
β
β
•
β
，若平面向量
a
、
b
满足|
a
|＞|
b
|＞0，
a
与
b
夹角θ∈（0，
π
4
），且
a
o
b
和
b
o
a
都在集合{
n
3
|n∈Z}中，则
a
o
b
的取值个数最多为（　　）
A、2B、4C、6D、8
考点：平面向量数量积的运算
专题：新定义,平面向量及应用
分析：由条件利用新定义求得
a
o
b
=
n
3
，
b
o
a
=
m
3
，m、n∈z．根据|
a
|＞|
b
|＞0，
a
与
b
夹角θ∈（0，
π
4
），可得 n≥m＞0，且cos2θ=
n
3
•
m
3
=
mn
9
∈（
1
2
，1），求得满足条件的m、n共有6组，从而得出结论．
解答： 解：由题意可得，
a
o
b
=
a
•
b
b
•
b
=
|
a
|• |
b|
•cosθ
|
b
|•|
b
|
=
|
a|
•cosθ
|
b
|
=
n
3
，
b
o
a
=
b
•
a
a
•
a
=
|
a
|• |
b|
•cosθ
|
a
|•|
a
|
=
|
b|
•cosθ
|
a
|
=
m
3
，m、n∈z．
∵|
a
|＞|
b
|＞0，
a
与
b
夹角θ∈（0，
π
4
），
∴n≥m＞0，且cos2θ=
n
3
•
m
3
=
mn
9
∈（
1
2
，1），
∴
n=3
m=2
，或 
n=4
m=2
，或 
n=5
m=1
，或 
n=6
m=1
，或 
n=7
m=1
，或 
n=8
m=1
，共计6组m、n的值，
故
a
o
b
的取值个数最多为6个，
故选：C．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，得到n≥m 且 m、n∈z，
mn
9
∈（
1
2
，1）是解题的关键，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设f-1（x）是函数f（x）=
1
2
（ax-a-x）（a＞1）的反函数，则使f-1（x）＞1成立的x的取值范围是
 
．
某学校从高二甲、乙两个班中各选6名同掌参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的平均分为81，则x+y的值为（　　）
A、6B、7C、8D、9
给出下列命题，其中真命题的个数是（　　）
①存在x0∈R，使得sinx0+cosx0=2sin
7π
24
成立；
②对于任意的三个平面向量
a
、
b
、
c
，总有（
a
•
b
）•
c
=
a
•（
b
•
c
）成立；
③相关系数r（|r|≤1），|r|值越大，变量之间的线性相关程度越高．
A、0B、1C、2D、3
若数列{an}的前n项和为Sn，有下列命题：
（1）若数列{an}的极限存在但不为零，则数列{Sn}的极限一定不存在；
（2）无穷数列{S2n}、{S2n-1}的极限均存在，则数列{Sn}的极限一定存在；
（3）若{an}是等差数列（公差d≠0），则S1•S2•…•Sk=O的充要条件是a1•a2•…•ak=O；
（4）若{an}是等比数列，则S1•S2•…•Sk=O（k≥2）的充要条件是an+an+1=0．
其中，错误命题的序号是（　　）
A、（1）（2）
B、（2）（3）
C、（3）（4）
D、（1）（4）
双曲线x2-y2=8的左右焦点分别是F1，F2，点Pn（xn，yn）（n=1，2，3…）在其右支上，且满足|Pn+1F2|=|PnF1|，P1F2⊥F1F2，则x2014的值是（　　）
A、8056
2
B、8048
2
C、8056
D、8048
从某校高三数学学业水平测试卷中随机抽取部分试卷，对其成绩进行分析，因某特殊原因，所得的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，则频率分布直方图中，从左往右第四个矩形的面积为（　　）
A、
6
25
B、
4
25
C、
6
23
D、
4
23
已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n-1
-
1
n
=2(
1
n+2
+
1
n+4
+…+
1
2n
)时，第一步应验证（　　）
A、1=2×
1
2
B、1-
1
2
+
1
3
=2(
1
1+2
+
1
2+4
)
C、1-
1
2
+
1
3
-
1
4
=2(
1
4+2
+
1
4+4
)
D、1-
1
2
=2×
1
2+2
若关于x的不等式x2-（a2+a）x+a3≥0对一切a∈[-2，
2
]都成立，求a的取值范围．

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