Question

已知函f（x）=x+

m

x

+lnx，其中m为常数
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若不等式f（x）≥3 在x∈（0，1]上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）试证：对任意正整数n，均有1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

5

2

+ln

n+1

2n

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出原函数的导函数，根据m的范围讨论导函数的单调性，由导函数的符号确定原函数的单调区间；
（2）不等式f（x）≥3 在x∈（0，1]上恒成立，分离变量m，构造函数，由导数求出函数最大值，则实数m的范围可求；
（3）由（2）得：x+

2

x

+lnx≥3在x∈（0，1]上恒成立，换元后得不等式：ln(1-

1

k2

)＞3-(1-

1

k2

)-

2

1- 1 k2

，累加后利用分组求和得结论．

解答： （1）解：f(x)=x+

m

x

+lnx(x＞0)，f′(x)=1-

m

x2

+

1

x

=

x2+x-m

x2

，
当m≤-

1

4

时f′（x）≥0，函数在（0，+∞）上递增，
当-

1

4

＜m≤0时，在（0，+∞）上f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上递增，
当m＞0时，在(0，

-1+ 1+4m

2

)上f′（x）＜0，f（x）在(0，

-1+ 1+4m

2

)上递减，
在(

-1+ 1+4m

2

，+∞)上f′（x）＞0，f（x）在(

-1+ 1+4m

2

，+∞)上递增；
（2）解：依题：x+

m

x

+lnx≥3，即m≥3x-x²-xlnx在（0，1]上恒成立，
令g（x）=3x-x²-xlnx，则g′（x）=3-2x-lnx-1=2-2x-lnx，
即g′（x）=2（1-x）-lnx，由x∈（0，1]得，g′（x）≥0，从而g（x）在（0，1]递增，
故g_max（x）=g（1）=2，故m≥2；
（3）证明：由（2）得：x+

2

x

+lnx≥3在x∈（0，1]上恒成立
⇒lnx≥3-x-

2

x

在x∈（0，1]时恒成立（x=1时取等号），
取x=1-

1

k2

（k∈N且k≥2），有：ln(1-

1

k2

)＞3-(1-

1

k2

)-

2

1- 1 k2

，
即ln

k2-1

k2

＞

1

k2

-

2

k2-1

(k≥2)，从而有：
ln

22-1

22

+ln

32-1

32

+…+ln

n2-1

n2

＞(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)-2(

1

22-1

+

1

32-1

+…+

1

n2-1

)
⇒ln

n+1

2n

＞

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

-(

3

2

-

1

n

-

1

n+1

)，
即

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜ln

n+1

2n

+

3

2

-(

1

n

+

1

n+1

)＜ln

n+1

2n

+

3

2

，
从而

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

5

2

+ln

n+1

2n

成立．

点评：本题考查导数在求函数最值中的应用，考查了函数构造法和分离变量法，训练了利用分组求和法求数列的和，是难题．