Question

已知△ABC的三个内角A，B，C所对边的长依次为a，b，c，若cosA=

3

4

，cosC=

1

8

（Ⅰ）求a：b：c；
（Ⅱ）若|

AC

+

BC

|=

46

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算

专题：计算题,解三角形

分析：（Ⅰ）A，C为三角形内角，先求出sinA，sinC，由cosB=cos[π-（A+C）]展开即可求出cosB的值，从而可求出sinB，由正弦定理即可求出a：b：c的值；
（Ⅱ）由正弦定理和已知可求出a，b，c的值，即可求出△ABC的面积．

解答： 解：（ I ）依题设：sinA=

1-cos2A

=

1-( 3 4 )2

=

7

4

，
sinC=

1-cos2C

=

1-( 1 8 )2

=

3 7

8

，
故cosB=cos[π-（A+C）]
=-cos （A+C）
=-（cosAcosC+sinAsinC）
=-（

3

32

-

21

32

）
=

9

16

．
故sinB=

1-cos2B

=

1-( 9 16 )2

=

5 7

16

，
从而有：sinA：sinB：sinC=

7

4

：

5 7

16

：

3 7

8

=4：5：6
再由正弦定理易得：a：b：c=4：5：6．
（ II ） 由（ I ）知：不妨设：a=4k，b=5k，c=6k，k＞0．故知：|

AC

|=b=5k，|

BC

|=a=4k．
依题设知：|

AC

|²+|

BC

|²+2|

AC

||

BC

|cosC=46⇒46k²=46，又k＞0⇒k=1．
故△ABC的三条边长依次为：a=4，b=5，c=6．
故有S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×4×5×

3 7

8

=

15 7

4

．

点评：本题主要考察了两角和与差的余弦函数，同角三角函数间的基本关系，正弦定理余弦定理的综合应用，考察学生的计算能力，属于基础题．