Question

下列三个命题：
①“一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等”是“两个平面平行”的充要条件；
②设实数x，y满足约束条件

y≥0 y≤4x x≤1

，若目标函数z=（a²+b²）x+y的最大值为8，则a+2b的最小值是-2

5

；
③四棱锥P-ABCD，底面是边长为2的正方形，侧面PAD为正三角形且垂直底面ABCD，则四棱锥P-ABCD的外接球半径为

21

3

；
其中正确的有

 

．（只填写命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：不等式的解法及应用,空间位置关系与距离,简易逻辑

分析：①判断充分性与必要性是否都成立；
②根据约束条件求出当x=1，y=4时目标函数z取得最大值，此时a²+b²=4，
利用参数法求出a+2b的最小值；
③设球心为O，半径为R，O到底面的距离为h，求出四棱锥P-ABCD的外接球半径R．

解答： 解：对于①，当一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等时，这两个平面不一定平行，
∴充分性不成立，
当两个平面平行时，一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，必要性成立，
∴是必要不充分条件，①错误；
对于②，∵约束条件

y≥0 y≤4x x≤1

，当目标函数z=（a²+b²）x+y的最大值为8时，
（a²+b²）×1+4=8，
∴a²+b²=4；
设a=2cosα，b=2sinα，α∈（0，2π），
∴a+2b=2cosα+4sinα=

22+42

sin（α+β）=2

5

sin（α+β），
当sin（α+β）=-1时，a+2b取得最小值-2

5

，∴②正确；
对于③，设球心为O，半径为R，O到底面的距离为h，
∵四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，侧面PAD是等边三角形，且有侧面PAD⊥底面ABCD，
∴四棱锥的高为

3

，底面正方形外接圆半径为

2

，
∴2+h²=(

3

-h)2，
∴h=

3

3

，
∴R²=2+h²=

7

3

，
∴四棱锥P-ABCD的外接球半径为R=

21

3

，∴③正确．
综上，正确的命题是②③．
故答案为：②③．

点评：本题考查了充分与必要条件的应用问题，也考查了线性规划的应用问题，还考查了空间图形的应用问题，是综合题目．