Question

设命题p：函数f（x）=lg（ax²-x+

1

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a）的定义域为R；命题q：不等式

2x+1

＜1+ax对一切正实数均成立．如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：分别求出命题P，Q为真命题时的等价条件，利用命题P或Q为真命题，P且Q为假命题，求a的范围即可．

解答： 解：当命题p为真命题
即f（x）=lg（ax²-x+

1

16

a）的定义域为R，
即ax²-x+

1

16

a＞0对任意实数x均成立，
∴

a＞0 △=1- 1 4 a2＜0

解得a＞2，
当命题q为真命题
即

2x+1

-1＜ax对一切正实数均成立
即a＞

2x+1 -1

x

=

2x

x( 2x+1 +1)

=

2

2x+1 +1

对一切正实数x均成立，
∵x＞0，
∴

2x+1

＞1，
∴

2x+1

+1＞2，
∴

2

2x+1 +1

＜1，
∴命题q为真命题时a≥1．
∵命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，
∴p与q有且只有一个是真命题．
当p真q假时，a不存在；
当p假q真时，a∈[1，2]．
综上知a∈[1，2]．

点评：本题考查复合命题与简单命题真假的关系，利用条件先求出命题p，q为真命题的等价条件是解决这类题的关键，属于一道中档题．