Question

已知等腰Rt△ABC斜边的两个端点A（-5，1）、B（3，-5）．
（1）求△ABC斜边上的高CD的长；
（2）写出CD所在直线的方程；
（3）求△ABC的直角顶点C的坐标．

Answer 1

考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系

专题：直线与圆

分析：（1）利用两点间的距离公式可求得|AB|=10，继而可求得等腰Rt△ABC斜边上的高CD的长；
（2）利用点D为线段AB的中点，可求得点D的坐标为（-1，-2），利用AB⊥CD，再求得k_CD=

4

3

，由直线的点斜式即可求得CD所在直线的方程；
（3）设C（a，b），则k_CA•k_CB=

b-1

a+5

•

b+5

a-3

=-1，又4a-3b-2=0，联立二式即可求得△ABC的直角顶点C的坐标．

解答： 解：（1）∵△ABC为等腰Rt三角形，斜边|AB|=

(-5-1)2+[3-(-5)]2

=10，
∴|CA|=|CB|=10×

2

2

=5

2

，
∴△ABC斜边上的高|CD|=5

2

sin45°=5；
（2）∵点D为线段AB的中点，∴点D的坐标为（

3-5

2

，

-5+1

2

），即D（-1，-2），
又k_AB=

-5-1

3-(-5)

=-

3

4

，AB⊥CD，
∴k_CD=

4

3

，
∴CD所在直线的方程为y+2=

4

3

（x+1），整理得：4x-3y-2=0；
（3）设C（a，b），则k_CA•k_CB=

b-1

a+5

•

b+5

a-3

=-1，又4a-3b-2=0，
二式联立解得：

a=2 b=2

或

a=-4 b=-6

，
∴△ABC的直角顶点C的坐标为（2，2）或（-4，-6）．

点评：本题考查直线的方程，着重考查直线的点斜式方程的应用．考查直线的垂直关系，突出考查解方程的能力，考查转化思想．