题目内容
在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知（2b-c）cosA-acosC=0．
（1）求∠A的值；
（2）若a=
，求△ABC面积的最大值．
（1）求∠A的值；
（2）若a=
| 3 |
考点：正弦定理
专题：解三角形
分析：本题（1）将条件转化为边的关系，然后利用余弦定理求出A的余弦值，从而求出A的值；（2）由余弦定理得到边的相等关系，利用基本不等式求出bc的最大值，再结合正弦面积公式，求出△ABC面积的最大值，得到本题结论．
解答：
解：∵在△ABC中，（2b-c）cosA-acosC=0，
∴（2b-c）×
-a×
=0，
∴b2+c2-a2=bc，
∴cosA=
=
=
，
∵A∈（0，π），
∴A=
．
（2）由（1）知：A=
，
又∵a=
，
∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得到：
3=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，（当且仅当b=c时，取等号）
∴△ABC面积：S=
bcsinA=
bc≤
．
∴△ABC面积的最大值为：
．
∴（2b-c）×
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
∴b2+c2-a2=bc，
∴cosA=
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| bc |
| 2bc |
| 1 |
| 2 |
∵A∈（0，π），
∴A=
| π |
| 3 |
（2）由（1）知：A=
| π |
| 3 |
又∵a=
| 3 |
∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得到：
3=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，（当且仅当b=c时，取等号）
∴△ABC面积：S=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
∴△ABC面积的最大值为：
| 3 |
| 4 |
| 3 |
点评：本题考查了用余弦定理、正弦面积公式、基本等式，本题难度不大，属于基础题．
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